有限数学示例

$\frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} = \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x}$ 。

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} = \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 2

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $\frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x}$ 。

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x} = 0$

解题步骤 2.2

化简分母。

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解题步骤 2.2.1

从 $x^{3} + x^{2} - 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x \cdot x^{2} + x^{2} - 2 x} = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 2 x} = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 2} = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x^{2} + x) + x \cdot - 2} = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $x (x^{2} + x) + x \cdot - 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x^{2} + x - 2)} = 0$

解题步骤 2.2.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $1$ 。

$- 1, 2$

解题步骤 2.2.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x ((x - 1) (x + 2))} = 0$

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

解题步骤 2.3

要将 $\frac{a}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 。

$\frac{a}{x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

解题步骤 2.4

要将 $\frac{b}{x + 2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{a}{x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{b}{x + 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

解题步骤 2.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x (x + 2)$ 的形式。

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解题步骤 2.5.1

将 $\frac{a}{x}$ 乘以 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 。

$\frac{a (x + 2)}{x (x + 2)} + \frac{b}{x + 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

解题步骤 2.5.2

将 $\frac{b}{x + 2}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{a (x + 2)}{x (x + 2)} + \frac{b x}{(x + 2) x} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

解题步骤 2.5.3

重新排序 $(x + 2) x$ 的因式。

$\frac{a (x + 2)}{x (x + 2)} + \frac{b x}{x (x + 2)} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{a (x + 2) + b x}{x (x + 2)} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

运用分配律。

$\frac{a x + a \cdot 2 + b x}{x (x + 2)} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

解题步骤 2.7.2

将 $2$ 移到 $a$ 的左侧。

$\frac{a x + 2 a + b x}{x (x + 2)} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

解题步骤 2.8

要将 $\frac{a x + 2 a + b x}{x (x + 2)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{a x + 2 a + b x}{x (x + 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

解题步骤 2.9

要将 $\frac{c}{x - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x (x + 2)}{x (x + 2)}$ 。

$\frac{a x + 2 a + b x}{x (x + 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{c}{x - 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

解题步骤 2.10

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x (x + 2) (x - 1)$ 的形式。

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解题步骤 2.10.1

将 $\frac{a x + 2 a + b x}{x (x + 2)}$ 乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{(a x + 2 a + b x) (x - 1)}{x (x + 2) (x - 1)} + \frac{c}{x - 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

解题步骤 2.10.2

将 $\frac{c}{x - 1}$ 乘以 $\frac{x (x + 2)}{x (x + 2)}$ 。

$\frac{(a x + 2 a + b x) (x - 1)}{x (x + 2) (x - 1)} + \frac{c (x (x + 2))}{(x - 1) (x (x + 2))} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

解题步骤 2.10.3

重新排序 $(x - 1) (x (x + 2))$ 的因式。

$\frac{(a x + 2 a + b x) (x - 1)}{x (x + 2) (x - 1)} + \frac{c (x (x + 2))}{x (x + 2) (x - 1)} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

解题步骤 2.11

在公分母上合并分子。

$\frac{(a x + 2 a + b x) (x - 1) + c (x (x + 2))}{x (x + 2) (x - 1)} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

解题步骤 2.12

在公分母上合并分子。

$\frac{(a x + 2 a + b x) (x - 1) + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13

化简每一项。

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解题步骤 2.13.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(a x + 2 a + b x) (x - 1)$ 。

$\frac{a x \cdot x + a x \cdot - 1 + 2 a x + 2 a \cdot - 1 + b x \cdot x + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13.2

化简每一项。

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解题步骤 2.13.2.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.13.2.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{a (x \cdot x) + a x \cdot - 1 + 2 a x + 2 a \cdot - 1 + b x \cdot x + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13.2.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{a x^{2} + a x \cdot - 1 + 2 a x + 2 a \cdot - 1 + b x \cdot x + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13.2.2

将 $- 1$ 移到 $a x$ 的左侧。

$\frac{a x^{2} - 1 \cdot (a x) + 2 a x + 2 a \cdot - 1 + b x \cdot x + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13.2.3

将 $- 1 (a x)$ 重写为 $- (a x)$ 。

$\frac{a x^{2} - (a x) + 2 a x + 2 a \cdot - 1 + b x \cdot x + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13.2.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{a x^{2} - a x + 2 a x - 2 a + b x \cdot x + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13.2.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.13.2.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{a x^{2} - a x + 2 a x - 2 a + b (x \cdot x) + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13.2.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{a x^{2} - a x + 2 a x - 2 a + b x^{2} + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13.2.6

将 $- 1$ 移到 $b x$ 的左侧。

$\frac{a x^{2} - a x + 2 a x - 2 a + b x^{2} - 1 \cdot (b x) + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13.2.7

将 $- 1 (b x)$ 重写为 $- (b x)$ 。

$\frac{a x^{2} - a x + 2 a x - 2 a + b x^{2} - b x + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13.3

将 $- a x$ 和 $2 a x$ 相加。

$\frac{a x^{2} + 1 a x - 2 a + b x^{2} - b x + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13.4

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13.5

运用分配律。

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c (x \cdot x + x \cdot 2) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13.6

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c (x^{2} + x \cdot 2) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13.7

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c (x^{2} + 2 \cdot x) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13.8

运用分配律。

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + c (2 x) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13.9

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + 2 c x - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13.10

运用分配律。

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + 2 c x - (3 x^{3}) - (13 x) - - 4}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13.11

化简。

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解题步骤 2.13.11.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + 2 c x - 3 x^{3} - (13 x) - - 4}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13.11.2

将 $13$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + 2 c x - 3 x^{3} - 13 x - - 4}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.13.11.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + 2 c x - 3 x^{3} - 13 x + 4}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

解题步骤 3

将分子设为等于零。

$a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + 2 c x - 3 x^{3} - 13 x + 4 = 0$

解题步骤 4

求解 $a$ 的方程。

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解题步骤 4.1

将所有不包含 $a$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.1.1

从等式两边同时减去 $b x^{2}$ 。

$a x^{2} + a x - 2 a - b x + c x^{2} + 2 c x - 3 x^{3} - 13 x + 4 = - b x^{2}$

解题步骤 4.1.2

在等式两边都加上 $b x$ 。

$a x^{2} + a x - 2 a + c x^{2} + 2 c x - 3 x^{3} - 13 x + 4 = - b x^{2} + b x$

解题步骤 4.1.3

从等式两边同时减去 $c x^{2}$ 。

$a x^{2} + a x - 2 a + 2 c x - 3 x^{3} - 13 x + 4 = - b x^{2} + b x - c x^{2}$

解题步骤 4.1.4

从等式两边同时减去 $2 c x$ 。

$a x^{2} + a x - 2 a - 3 x^{3} - 13 x + 4 = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x$

解题步骤 4.1.5

在等式两边都加上 $3 x^{3}$ 。

$a x^{2} + a x - 2 a - 13 x + 4 = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3}$

解题步骤 4.1.6

在等式两边都加上 $13 x$ 。

$a x^{2} + a x - 2 a + 4 = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x$

解题步骤 4.1.7

从等式两边同时减去 $4$ 。

$a x^{2} + a x - 2 a = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

解题步骤 4.2

从 $a x^{2} + a x - 2 a$ 中分解出因数 $a$ 。

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解题步骤 4.2.1

从 $a x^{2}$ 中分解出因数 $a$ 。

$a (x^{2}) + a x - 2 a = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

解题步骤 4.2.2

从 $a x$ 中分解出因数 $a$ 。

$a (x^{2}) + a (x) - 2 a = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

解题步骤 4.2.3

从 $- 2 a$ 中分解出因数 $a$ 。

$a (x^{2}) + a (x) + a \cdot - 2 = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

解题步骤 4.2.4

从 $a (x^{2}) + a (x)$ 中分解出因数 $a$ 。

$a (x^{2} + x) + a \cdot - 2 = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

解题步骤 4.2.5

从 $a (x^{2} + x) + a \cdot - 2$ 中分解出因数 $a$ 。

$a (x^{2} + x - 2) = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

解题步骤 4.3

因数。

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解题步骤 4.3.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.3.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $1$ 。

$- 1, 2$

解题步骤 4.3.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$a ((x - 1) (x + 2)) = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

解题步骤 4.3.2

去掉多余的括号。

$a (x - 1) (x + 2) = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

解题步骤 4.4

将 $a (x - 1) (x + 2) = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$ 中的每一项除以 $(x - 1) (x + 2)$ 并化简。

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解题步骤 4.4.1

将 $a (x - 1) (x + 2) = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$ 中的每一项都除以 $(x - 1) (x + 2)$ 。

$\frac{a (x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{- b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 4}{(x - 1) (x + 2)}$

解题步骤 4.4.2

化简左边。

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解题步骤 4.4.2.1

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 4.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{a (x + 2)}{x + 2} = \frac{- b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 4}{(x - 1) (x + 2)}$

解题步骤 4.4.2.2

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.2.1

约去公因数。

解题步骤 4.4.2.2.2

用 $a$ 除以 $1$ 。

$a = \frac{- b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 4}{(x - 1) (x + 2)}$

解题步骤 4.4.3

化简右边。

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解题步骤 4.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$a = - \frac{b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 4}{(x - 1) (x + 2)}$

解题步骤 4.4.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$a = - \frac{b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 4}{(x - 1) (x + 2)}$

解题步骤 4.4.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$a = - \frac{b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 4}{(x - 1) (x + 2)}$

解题步骤 4.4.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$a = - \frac{b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{4}{(x - 1) (x + 2)}$

有限数学 示例

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